LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia se define como el lugar geométrico formado por una infinidad de puntos equidistantes de un punto en común llamado centro. La distancia entre cada punto y el centro se denomina radio. Se considera como la figura geométrica perfecta, debido a que en ella se puede inscribir cualquier polígono sin importar su número de lados.

A continuación te propongo observar como la ecuación de una circunferencia tan solo es una aplicación concreta del Teorema de Pitágoras, que ya es bien conocido por ti.

Si se traza una circunferencia con centro en el punto C(h, k) y radio r y se considera cualquier punto P(x, y) perteneciente a la circunferencia, observamos que se forma un triángulo rectángulo en el que al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene:

Desarrollando los binomios al cuadrado:


Reagrupando términos:

Llamando.

Encontramos la llamada ecuación general de la circunferencia:
A continuación demostramos la equivalencia de estas dos ecuaciones: ordinaria y general. Basta partir de la forma ordinaria, desarrollar los binomios al cuadrado y llamar convenientemente a D, E y F los coeficientes de la ecuación.

Así para la circunferencia que trazaste de radio 3 unidades tomando como centro el origen del plano cartesiano, obtenemos su ecuación de la siguiente forma:

Sabemos que su centro está en el punto C (0, 0) y tiene radio r = 3, por lo que, sustituyendo en la ecuación ordinaria, obtenemos:

En el segundo caso, tenemos el centro de a circunferencia en el punto C (4, 4) y el radio r = 2. Sustituyendo estos datos en la ecuación ordinaria, obtenemos:

Desarrollando las operaciones indicadas, tenemos:

Reduciendo y ordenando, obtenemos la ecuación general:

Para consolidar este procedimiento, veamos otro ejemplo donde encontraremos la ecuación ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro es el punto C(2, 3) y el radio r = 5.

Para iniciar con la gráfica dibuja en tu cuaderno un plano cartesiano, ubica el punto (2, 3) como centro y abriendo tu compás cinco unidades (cuadritos) como radio traza una circunferencia.

Para la parte analítica, basémonos en los conceptos desarrollados anteriormente. Tenemos la ecuación ordinaria y la ecuación general de la circunferencia:


Sustituyendo C (2, 3) y r = 5 en la ecuación ordinaria de la circunferencia , obtenemos:

Desarrollando los binomios y reduciendo, obtenemos la ecuación general:


NOTA.- Si algunos de los valores en la ordenada son fracciones, no te preocupes, el procedimiento es el mismo.