HIPÉRBOLA

Hasta ahora se ha estudiado el comportamiento de tres cónicas: la circunferencia, la elipse y la parábola. Observa que las dos primeras son curvas cerradas, mientras que la parábola es una curva abierta. En esta sección estudiaremos la hipérbola, que también es una cómica y se representa a través de una curva abierta formada por dos “brazos” separados.

El uso de las hipérbolas en contextos reales es muy diverso, su forma, además de proporcionar fuerza a las estructuras donde se utiliza, les da un aspecto estético modernista. Un ejemplo de ello es la torre de control del aeropuerto de Barcelona, la cual tiene una altura de 60 metros. Para apoyar el fanal, que tiene una forma de octágono que proporciona una visión de 360 grados del área, se proyectó una estructura compuesta por elementos pretensados prefabricados de hormigón. Cada elemento es parte de una generatriz de un hiperboloide de revolución.

Una hipérbola es el conjunto de puntos en un plano, donde la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos F y F´ en una constante.

El eje focal es la recta que pasa por los dos focos donde el eje transverso es el segmento de recta cuyos extremos son los puntos en los que toca este eje a la hipérbola. Dichos puntos se llaman vértices V y V´.

El centro de la hipérbola es el punto medio de los vértices.

El segmento de recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje transverso se llama eje conjugado, cuyos extremos los representaremos con B y B´.

La distancia del centro C a uno de los focos la representamos con C; la del centro a uno de los vértices, con a; y la de uno de los extremos del eje conjugado al centro, con b.
La hipérbola consta de dos ramas diferentes que tienen dos asíntotas oblicuas.

Con estos conceptos podemos construir la siguiente tabla de los elementos de la hipérbola:




Ejemplo:
Basándonos en la información anterior, encontraremos la ecua ión de la hipérbola con centro en el origen, con uno de sus focos en el punto F (6, 0) y un vértice en el punto V (-3,0). También construiremos su gráfica.

A partir de los datos nos damos cuenta de que el otro foco debe estar en el punto F´ (-6, 0) y, el otro vértice, en el punto V´ (3,0), con lo cual podemos deducir los valores de:

a = 3 y c = 6y

sabemos que la relación entre a, b y c se da a través del Teorema de Pitágoras

con lo que:

Con los valores de a y b, sustituimos en la ecuación:

Observa en el gráfico la ubicación de los cuatro puntos que representan a los dos vértices y a los dos focos.
En el ejemplo siguiente haremos el procedimiento inverso: partiremos de la ecuación de una hipérbola y determinaremos sus elementos.Dada la ecuación de la hipérbola

encontraremos los vértices, los focos, la ecuación de las asíntotas y su gráfica.
Primero convertimos la ecuación en la forma ordinaria de la hipérbola:

Con ello, deducimos los valores de a, b y c.

La hipérbola tiene su eje focal sobre el eje Y. Sus vértices son: V (0, ½) y V´ (-1/2) y los focos

Ecuación de las asíntotas: