CONICAS (HISTORIA DEL FOOTBALL AMERICANO)

Deportes que involucran una pelota y algún tipo de portería han existido desde hace más de 2000 años, el football americano nació a partir de dos de estos deportes: el football inglés y el rugby.
En 1869 las universidades norteamericanas practicaban el football inglés y poco después el rugby, el juego comenzó a cambiar cuando apareció en escena un hombre llamado Walter Camp. Walter Camp, jugador de la universidad de Yale, ha pasado a la historia como el verdadero padre del football americano en una convención en Springfield. Massachusetts, en 1876 y por lo tanto se puede considerar este año como el del nacimiento del football americano. Camp redujo el número de jugadores de 15 a 11 por equipo, y sustituyó la melé del rugby por la línea de scrimmage para poner el balón en juego, inventó el sistema del down por el cual se deben avanzar unas determinadas yardas para mantener la posesión del balón. Pero su aportación más relevante fue la del placaje por debajo de la cintura en 1888, lo cual hizo el football americano mucho más violento.
De hecho, el juego estuvo a punto de prohibirse en 1906 debido a que en el transcurso de la temporada anterior se produjeron 18 muertos y 159 heridos de gravedad. Sin embargo, el presidente Norteamericano Theodore Roosevelt intervino personalmente para salvarlo sugiriendo a los representantes de las unidades que se revisaran las reglas para suavizar el juego.
El deporte que Walter Camp inventó era básicamente un juego de carrera y patada, se recibían más puntos por un touchdown. En 1906 se legalizó el pase adelantado desde la línea de scrimmage y en 1909 los puntos otorgados por un field goal bajó de 4 a 3 puntos. En 1912 el touchdown pasó a valer los actuales 6 puntos. El football americano nació en las universidades, y durante muchas décadas el football americano universitario sería más popular entre los aficionados que el profesional.
Hacia 1920 los partidos universitarios congregaban a más de 30000aficionadfos, mientras que los partidos profesionales reunían a unos 5000, de hecho hoy en día algunas universidades como Notre Dame o Nebraska arrastran más seguidores que algunos equipos de la NFL.

Da respuesta a las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo se relacionan los pases en el football americano y el tiro parabólico?


2. ¿Cuál es el grado de inclinación más conveniente cuando se requiere que el balón llegue lo más lejos posible? ¿Por qué?


3. En qué otros juegos o deportes es necesario tomar en cuenta la forma de las curvas cónicas para obtener mejores resultados.

LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia se define como el lugar geométrico formado por una infinidad de puntos equidistantes de un punto en común llamado centro. La distancia entre cada punto y el centro se denomina radio. Se considera como la figura geométrica perfecta, debido a que en ella se puede inscribir cualquier polígono sin importar su número de lados.

A continuación te propongo observar como la ecuación de una circunferencia tan solo es una aplicación concreta del Teorema de Pitágoras, que ya es bien conocido por ti.

Si se traza una circunferencia con centro en el punto C(h, k) y radio r y se considera cualquier punto P(x, y) perteneciente a la circunferencia, observamos que se forma un triángulo rectángulo en el que al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene:

Desarrollando los binomios al cuadrado:


Reagrupando términos:

Llamando.

Encontramos la llamada ecuación general de la circunferencia:
A continuación demostramos la equivalencia de estas dos ecuaciones: ordinaria y general. Basta partir de la forma ordinaria, desarrollar los binomios al cuadrado y llamar convenientemente a D, E y F los coeficientes de la ecuación.

Así para la circunferencia que trazaste de radio 3 unidades tomando como centro el origen del plano cartesiano, obtenemos su ecuación de la siguiente forma:

Sabemos que su centro está en el punto C (0, 0) y tiene radio r = 3, por lo que, sustituyendo en la ecuación ordinaria, obtenemos:

En el segundo caso, tenemos el centro de a circunferencia en el punto C (4, 4) y el radio r = 2. Sustituyendo estos datos en la ecuación ordinaria, obtenemos:

Desarrollando las operaciones indicadas, tenemos:

Reduciendo y ordenando, obtenemos la ecuación general:

Para consolidar este procedimiento, veamos otro ejemplo donde encontraremos la ecuación ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro es el punto C(2, 3) y el radio r = 5.

Para iniciar con la gráfica dibuja en tu cuaderno un plano cartesiano, ubica el punto (2, 3) como centro y abriendo tu compás cinco unidades (cuadritos) como radio traza una circunferencia.

Para la parte analítica, basémonos en los conceptos desarrollados anteriormente. Tenemos la ecuación ordinaria y la ecuación general de la circunferencia:


Sustituyendo C (2, 3) y r = 5 en la ecuación ordinaria de la circunferencia , obtenemos:

Desarrollando los binomios y reduciendo, obtenemos la ecuación general:


NOTA.- Si algunos de los valores en la ordenada son fracciones, no te preocupes, el procedimiento es el mismo.

ELIPSE (APLICACIONES DE LA ELIPSE)

No extraña a nadie el hecho de que las matemáticas tengan una aplicación directa en Arquitectura. Todos nos podemos imaginar que, antes de poner manos en la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable, teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleará, las cargas que éstos tienen que soportar y, quizás también el coste económico. Sin embargo, pareciera que esta aplicación se reduce sólo al cálculo de estabilidades, de tensiones, resistencia de materiales, etcétera, pero de ninguna forma al diseño del objeto arquitectónico mismo. Pensamos, y es bien cierto, que con respecto a la creación artística el arquitecto aparte de su mesa de trabajo las Matemáticas y deja volar la imaginación en la búsqueda de la forma deseada. Pues bien, esto no es exactamente así. Lo que quizás resulte desconocido es que las matemáticas pueden ayudar, y de hecho lo hacen, si no en el mismo momento mágico de la creación artística, si en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es Geometría” es una máxima que se puede encontrar en los tratados de Geometría Descriptiva. Desde siempre los arquitectónicos han aprovechado superficies que pueden calificarse de clásicas, y las han combinado acertadamente. En nuestros días, una nueva teoría, las de las superficies de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la década de los sesenta en varias empresas automovilísticas y de construcción aeronáutica, ayuda al arquitecto a diseñar superficies de manera arbitraria, con sencillez y elegancia.

CARACTERÍSTICAS DE LA ELIPSE

La elipse, como lugar geométrico, tiene una característica muy particular que la distingue de otras curvas cerradas.

Cualquier punto sobre la elipse cumplirá que la suma de las distancias de él a los puntos A y B debe mantenerse constante.

Por esta razón, en el trazo inicial, con la misma longitud del estambre fijando sus extremos en los puntos A y B, se obtuvo una elipse.

De manera concreta, una elipse es una curva cerrada formada por una infinidad de puntos del plano, para los cuales la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, se mantiene constantes.

ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

A los puntos A y B se les conoce como focos, y normalmente se simbolizan con las letras F y F´.


Puntos:

Segmentos de la recta:



Observa la importancia de las letras a, b, c como parámetros de la elipse:

a representa la distancia del centro a cualquiera de los dos vértices.

• B representa la distancia del centro a cualquiera de los dos covértices.




• C representa la distancia del centro a cualquiera de los dos focos.
  

La relación que guardan los tres parámetros a, b, c es pitagórica.

En la imagen se observa que a es la hipotenusa y, b y c, los catetos de un triángulo rectángulo, por lo que:

ELEMENTOS FUNDAMENTALES Y ECUACIONES DE LA ELIPSE

Ejemplo:

Determinemos la ecuación y el gráfico de la eclipse con centro en el origen, un foco en (-3, 0) y un vértice en (4, 0).

Primero localicemos en un plano cartesiano los puntos dados.

De esta localización se deduce que los ejes mayor y focal son horizontales, paralelos al eje x. Las magnitudes de a y c son, respectivamente, 4 y 3 unidades.

También, por simetría, se pueden determinar las posiciones del segundo vértice V´ (-4, 0) y del segundo foco F (3, 0).

El valor del parámetro b, lo podemos obtener a través del teorema de Pitágoras:

Sustituyendo nuestros datos y despejando b, obtenemos:

Así, la ecuación ordinaria:

Es decir:

El lado recto es:


Completando el gráfico obtenemos:

PARÁBOLA

Como la circunferencia y la elipse, la parábola también es una cónica, pero, a diferencia de ellas, que son dos líneas cerradas, la parábola es de tipo abierta.

La parábola, como lugar geométrico, se forma por una infinidad de puntos que cumplen la siguiente condición: su distancia a un punto fijo llamado foco y a una recta llamada directriz es la misma.

Observemos que el punto P está a la misma distancia (perpendicular) de la directriz que del foco, es decir: