Lectura de la unidad 3 de Geometría Analítica: ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA

Aunque una parábola puede “abrir” en cualquier dirección, para su estudio elemental se consideran cuatro direcciones: horizontal hacia la derecha o hacia la izquierda, y vertical hacia arriba o hacia abajo.

También pueden tener su vértice en el origen o fuera de él.

En cualquiera de los dos casos, los elementos de una parábola son los mismos:

Foco.- es el punto fijo (p, 0) y se encuentra a una distancia p del vértice.

Vértice.- es el punto de intersección de la parábola con su eje principal. El eje principal o eje de la parábola es el eje de simetría que la divide exactamente en dos partes iguales.

Parámetro.- p representa la distancia del foco al vértice o de éste a la directriz. Si el valor de p es positivo, indicará la apertura hacia arriba o hacia la derecha; en caso de que sea negativo, la parábola abrirá hacia abajo o hacia la izquierda.

Directriz.- recta fija que se encuentra a una distancia p del vértice de la parábola. Los puntos de la parábola deberán estar a la misma distancia de ella que del foco.

Lado recto.- Es la distancia que hay entre dos punto simétricos de la parábola.

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

Ejemplo:

Encontremos la ecuación general de la parábola que tiene los siguientes elementos:

Vértice V (-2, -4) y foco F (-5, -4)

Como se puede observar, se trata de una parábola con concavidad hacia la izquierda y con parámetro p (distancia del vértice al foco) igual a 3.

Considerando la ecuación ordinaria de una parábola con centro desplazado C(h, k) y eje vertical, se tiene:

Sustituimos en la ecuación los datos que se nos dan, en este caso k = 4 y p = 3.

Con lo que la ecuación general queda como sigue:

Trazando su gráfica obtendremos:

Ejemplo 2:
Encontremos la ecuación general de la parábola de vértice V (0, 0) y directriz x + 2 = 0.Esta es una parábola con vértice en el origen y parámetro igual a 2, por lo que su ecuación corresponde a:

Sustituyendo los datos conocidos en la ecuación, se tiene lo siguiente: