CONICAS (HISTORIA DEL FOOTBALL AMERICANO)

Deportes que involucran una pelota y algún tipo de portería han existido desde hace más de 2000 años, el football americano nació a partir de dos de estos deportes: el football inglés y el rugby.
En 1869 las universidades norteamericanas practicaban el football inglés y poco después el rugby, el juego comenzó a cambiar cuando apareció en escena un hombre llamado Walter Camp. Walter Camp, jugador de la universidad de Yale, ha pasado a la historia como el verdadero padre del football americano en una convención en Springfield. Massachusetts, en 1876 y por lo tanto se puede considerar este año como el del nacimiento del football americano. Camp redujo el número de jugadores de 15 a 11 por equipo, y sustituyó la melé del rugby por la línea de scrimmage para poner el balón en juego, inventó el sistema del down por el cual se deben avanzar unas determinadas yardas para mantener la posesión del balón. Pero su aportación más relevante fue la del placaje por debajo de la cintura en 1888, lo cual hizo el football americano mucho más violento.
De hecho, el juego estuvo a punto de prohibirse en 1906 debido a que en el transcurso de la temporada anterior se produjeron 18 muertos y 159 heridos de gravedad. Sin embargo, el presidente Norteamericano Theodore Roosevelt intervino personalmente para salvarlo sugiriendo a los representantes de las unidades que se revisaran las reglas para suavizar el juego.
El deporte que Walter Camp inventó era básicamente un juego de carrera y patada, se recibían más puntos por un touchdown. En 1906 se legalizó el pase adelantado desde la línea de scrimmage y en 1909 los puntos otorgados por un field goal bajó de 4 a 3 puntos. En 1912 el touchdown pasó a valer los actuales 6 puntos. El football americano nació en las universidades, y durante muchas décadas el football americano universitario sería más popular entre los aficionados que el profesional.
Hacia 1920 los partidos universitarios congregaban a más de 30000aficionadfos, mientras que los partidos profesionales reunían a unos 5000, de hecho hoy en día algunas universidades como Notre Dame o Nebraska arrastran más seguidores que algunos equipos de la NFL.

Da respuesta a las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo se relacionan los pases en el football americano y el tiro parabólico?


2. ¿Cuál es el grado de inclinación más conveniente cuando se requiere que el balón llegue lo más lejos posible? ¿Por qué?


3. En qué otros juegos o deportes es necesario tomar en cuenta la forma de las curvas cónicas para obtener mejores resultados.

LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia se define como el lugar geométrico formado por una infinidad de puntos equidistantes de un punto en común llamado centro. La distancia entre cada punto y el centro se denomina radio. Se considera como la figura geométrica perfecta, debido a que en ella se puede inscribir cualquier polígono sin importar su número de lados.

A continuación te propongo observar como la ecuación de una circunferencia tan solo es una aplicación concreta del Teorema de Pitágoras, que ya es bien conocido por ti.

Si se traza una circunferencia con centro en el punto C(h, k) y radio r y se considera cualquier punto P(x, y) perteneciente a la circunferencia, observamos que se forma un triángulo rectángulo en el que al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene:

Desarrollando los binomios al cuadrado:


Reagrupando términos:

Llamando.

Encontramos la llamada ecuación general de la circunferencia:
A continuación demostramos la equivalencia de estas dos ecuaciones: ordinaria y general. Basta partir de la forma ordinaria, desarrollar los binomios al cuadrado y llamar convenientemente a D, E y F los coeficientes de la ecuación.

Así para la circunferencia que trazaste de radio 3 unidades tomando como centro el origen del plano cartesiano, obtenemos su ecuación de la siguiente forma:

Sabemos que su centro está en el punto C (0, 0) y tiene radio r = 3, por lo que, sustituyendo en la ecuación ordinaria, obtenemos:

En el segundo caso, tenemos el centro de a circunferencia en el punto C (4, 4) y el radio r = 2. Sustituyendo estos datos en la ecuación ordinaria, obtenemos:

Desarrollando las operaciones indicadas, tenemos:

Reduciendo y ordenando, obtenemos la ecuación general:

Para consolidar este procedimiento, veamos otro ejemplo donde encontraremos la ecuación ordinaria y general de la circunferencia cuyo centro es el punto C(2, 3) y el radio r = 5.

Para iniciar con la gráfica dibuja en tu cuaderno un plano cartesiano, ubica el punto (2, 3) como centro y abriendo tu compás cinco unidades (cuadritos) como radio traza una circunferencia.

Para la parte analítica, basémonos en los conceptos desarrollados anteriormente. Tenemos la ecuación ordinaria y la ecuación general de la circunferencia:


Sustituyendo C (2, 3) y r = 5 en la ecuación ordinaria de la circunferencia , obtenemos:

Desarrollando los binomios y reduciendo, obtenemos la ecuación general:


NOTA.- Si algunos de los valores en la ordenada son fracciones, no te preocupes, el procedimiento es el mismo.

ELIPSE (APLICACIONES DE LA ELIPSE)

No extraña a nadie el hecho de que las matemáticas tengan una aplicación directa en Arquitectura. Todos nos podemos imaginar que, antes de poner manos en la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable, teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleará, las cargas que éstos tienen que soportar y, quizás también el coste económico. Sin embargo, pareciera que esta aplicación se reduce sólo al cálculo de estabilidades, de tensiones, resistencia de materiales, etcétera, pero de ninguna forma al diseño del objeto arquitectónico mismo. Pensamos, y es bien cierto, que con respecto a la creación artística el arquitecto aparte de su mesa de trabajo las Matemáticas y deja volar la imaginación en la búsqueda de la forma deseada. Pues bien, esto no es exactamente así. Lo que quizás resulte desconocido es que las matemáticas pueden ayudar, y de hecho lo hacen, si no en el mismo momento mágico de la creación artística, si en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es Geometría” es una máxima que se puede encontrar en los tratados de Geometría Descriptiva. Desde siempre los arquitectónicos han aprovechado superficies que pueden calificarse de clásicas, y las han combinado acertadamente. En nuestros días, una nueva teoría, las de las superficies de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la década de los sesenta en varias empresas automovilísticas y de construcción aeronáutica, ayuda al arquitecto a diseñar superficies de manera arbitraria, con sencillez y elegancia.

CARACTERÍSTICAS DE LA ELIPSE

La elipse, como lugar geométrico, tiene una característica muy particular que la distingue de otras curvas cerradas.

Cualquier punto sobre la elipse cumplirá que la suma de las distancias de él a los puntos A y B debe mantenerse constante.

Por esta razón, en el trazo inicial, con la misma longitud del estambre fijando sus extremos en los puntos A y B, se obtuvo una elipse.

De manera concreta, una elipse es una curva cerrada formada por una infinidad de puntos del plano, para los cuales la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, se mantiene constantes.

ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

A los puntos A y B se les conoce como focos, y normalmente se simbolizan con las letras F y F´.


Puntos:

Segmentos de la recta:



Observa la importancia de las letras a, b, c como parámetros de la elipse:

a representa la distancia del centro a cualquiera de los dos vértices.

• B representa la distancia del centro a cualquiera de los dos covértices.




• C representa la distancia del centro a cualquiera de los dos focos.
  

La relación que guardan los tres parámetros a, b, c es pitagórica.

En la imagen se observa que a es la hipotenusa y, b y c, los catetos de un triángulo rectángulo, por lo que:

ELEMENTOS FUNDAMENTALES Y ECUACIONES DE LA ELIPSE

Ejemplo:

Determinemos la ecuación y el gráfico de la eclipse con centro en el origen, un foco en (-3, 0) y un vértice en (4, 0).

Primero localicemos en un plano cartesiano los puntos dados.

De esta localización se deduce que los ejes mayor y focal son horizontales, paralelos al eje x. Las magnitudes de a y c son, respectivamente, 4 y 3 unidades.

También, por simetría, se pueden determinar las posiciones del segundo vértice V´ (-4, 0) y del segundo foco F (3, 0).

El valor del parámetro b, lo podemos obtener a través del teorema de Pitágoras:

Sustituyendo nuestros datos y despejando b, obtenemos:

Así, la ecuación ordinaria:

Es decir:

El lado recto es:


Completando el gráfico obtenemos:

PARÁBOLA

Como la circunferencia y la elipse, la parábola también es una cónica, pero, a diferencia de ellas, que son dos líneas cerradas, la parábola es de tipo abierta.

La parábola, como lugar geométrico, se forma por una infinidad de puntos que cumplen la siguiente condición: su distancia a un punto fijo llamado foco y a una recta llamada directriz es la misma.

Observemos que el punto P está a la misma distancia (perpendicular) de la directriz que del foco, es decir:

ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA

Aunque una parábola puede “abrir” en cualquier dirección, para su estudio elemental se consideran cuatro direcciones: horizontal hacia la derecha o hacia la izquierda, y vertical hacia arriba o hacia abajo.

También pueden tener su vértice en el origen o fuera de él.

En cualquiera de los dos casos, los elementos de una parábola son los mismos:

• Foco.- es el punto fijo (p, 0) y se encuentra a una distancia p del vértice.





• Vértice.- es el punto de intersección de la parábola con su eje principal. El eje principal o eje de la parábola es el eje de simetría que la divide exactamente en dos partes iguales.





• Parámetro.- p representa la distancia del foco al vértice o de éste a la directriz. Si el valor de p es positivo, indicará la apertura hacia arriba o hacia la derecha; en caso de que sea negativo, la parábola abrirá hacia abajo o hacia la izquierda.





• Directriz.- recta fija que se encuentra a una distancia p del vértice de la parábola. Los puntos de la parábola deberán estar a la misma distancia de ella que del foco.





• Lado recto.- Es la distancia que hay entre dos punto simétricos de la parábola.

ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

Ejemplo:

Encontremos la ecuación general de la parábola que tiene los siguientes elementos:

Vértice V (-2, -4) y foco F (-5, -4)

Como se puede observar, se trata de una parábola con concavidad hacia la izquierda y con parámetro p (distancia del vértice al foco) igual a 3.

Considerando la ecuación ordinaria de una parábola con centro desplazado C(h, k) y eje vertical, se tiene:

Sustituimos en la ecuación los datos que se nos dan, en este caso k = 4 y p = 3.

Con lo que la ecuación general queda como sigue:


Trazando su gráfica obtendremos:

Ejemplo 2:
Encontremos la ecuación general de la parábola de vértice V (0, 0) y directriz x + 2 = 0.Esta es una parábola con vértice en el origen y parámetro igual a 2, por lo que su ecuación corresponde a:

Sustituyendo los datos conocidos en la ecuación, se tiene lo siguiente:

Así la ecuación general de la parábola nos queda de la siguiente forma:

Trazando su gráfica, obtenemos lo siguiente:

HIPÉRBOLA

Hasta ahora se ha estudiado el comportamiento de tres cónicas: la circunferencia, la elipse y la parábola. Observa que las dos primeras son curvas cerradas, mientras que la parábola es una curva abierta. En esta sección estudiaremos la hipérbola, que también es una cómica y se representa a través de una curva abierta formada por dos “brazos” separados.

El uso de las hipérbolas en contextos reales es muy diverso, su forma, además de proporcionar fuerza a las estructuras donde se utiliza, les da un aspecto estético modernista. Un ejemplo de ello es la torre de control del aeropuerto de Barcelona, la cual tiene una altura de 60 metros. Para apoyar el fanal, que tiene una forma de octágono que proporciona una visión de 360 grados del área, se proyectó una estructura compuesta por elementos pretensados prefabricados de hormigón. Cada elemento es parte de una generatriz de un hiperboloide de revolución.

Una hipérbola es el conjunto de puntos en un plano, donde la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos F y F´ en una constante.

El eje focal es la recta que pasa por los dos focos donde el eje transverso es el segmento de recta cuyos extremos son los puntos en los que toca este eje a la hipérbola. Dichos puntos se llaman vértices V y V´.

El centro de la hipérbola es el punto medio de los vértices.

El segmento de recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje transverso se llama eje conjugado, cuyos extremos los representaremos con B y B´.

La distancia del centro C a uno de los focos la representamos con C; la del centro a uno de los vértices, con a; y la de uno de los extremos del eje conjugado al centro, con b.
La hipérbola consta de dos ramas diferentes que tienen dos asíntotas oblicuas.

Con estos conceptos podemos construir la siguiente tabla de los elementos de la hipérbola:




Ejemplo:
Basándonos en la información anterior, encontraremos la ecua ión de la hipérbola con centro en el origen, con uno de sus focos en el punto F (6, 0) y un vértice en el punto V (-3,0). También construiremos su gráfica.

A partir de los datos nos damos cuenta de que el otro foco debe estar en el punto F´ (-6, 0) y, el otro vértice, en el punto V´ (3,0), con lo cual podemos deducir los valores de:

a = 3 y c = 6y

sabemos que la relación entre a, b y c se da a través del Teorema de Pitágoras

con lo que:

Con los valores de a y b, sustituimos en la ecuación:

Observa en el gráfico la ubicación de los cuatro puntos que representan a los dos vértices y a los dos focos.
En el ejemplo siguiente haremos el procedimiento inverso: partiremos de la ecuación de una hipérbola y determinaremos sus elementos.Dada la ecuación de la hipérbola

encontraremos los vértices, los focos, la ecuación de las asíntotas y su gráfica.
Primero convertimos la ecuación en la forma ordinaria de la hipérbola:

Con ello, deducimos los valores de a, b y c.

La hipérbola tiene su eje focal sobre el eje Y. Sus vértices son: V (0, ½) y V´ (-1/2) y los focos

Ecuación de las asíntotas: